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# AES - Schlüsselaustausch II
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Es sollen für eine Gruppe von `n` Personen
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und für jede relevante Teilmenge dieser ein symmetrischer Schlüssel erstellt werden.
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Wir sollen wissen, wie viele Schlüssel wir brauchen.
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## Lösung
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### Anzahl aller Schlüssel
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Sei `n>1` die Anhalt der Personen.
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Es gibt also die folgenden Personen:
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X := { p1, ..., pn }
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Für jede Teilmenge von `X` mit mindestens zwei Personen braucht es einen eigenen Schlüssel.
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A ⊆ Power(X) --> kA
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Es gibt `2^n` Elemente in der Potenzmenge von `X`,
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von denen wir noch die zu kleine Mengen abziehen müssen.
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Das sind `Ø`, sowie `{ pk }` für `1 ≤ k ≤ n`.
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Die Formel für die Anzahl der Schlüssel lautet damit `2^n - 1 - n`.
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Für `n=141` erhalten wir also
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2^141 ? 141 ? 1 = 2787593149816327892691964784081045188247410
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Schlüssen insgesamt.
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### Anzahl aller Schlüssel, die eine Person kennt
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O.B.d.A. zählen wir nur die Schlüssen für `p1`.
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`p1` braucht einen Schlüssel für jedes Gruppe von mindestens einer Person,
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die nicht `p1` ist.
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Das sind genau die folgend Teilmengen:
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Power(X \ { p1 }) \ { Ø }
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Was uns `2^(n-1) - 1` Teilmengen bzw. Schlüssel gibt.
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Für `n=141` erhalten wir
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2^(141 - 1) - 1 = 1393796574908163946345982392040522594123775
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Schlüssel.
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