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AES - Schlüsselaustausch II
Es sollen für eine Gruppe von n Personen
und für jede relevante Teilmenge dieser ein symmetrischer Schlüssel erstellt werden.
Wir sollen wissen, wie viele Schlüssel wir brauchen.
Lösung
Anzahl aller Schlüssel
Sei n > 1 die Anzahl der Personen.
Es gibt also die folgenden Personen:
X := { p1, ..., pn }
Für jede Teilmenge von X mit mindestens zwei Personen braucht es einen eigenen Schlüssel.
A ⊆ Power(X) --> kA
Es gibt 2^n Elemente in der Potenzmenge von X,
von denen wir noch die zu kleine Mengen abziehen müssen.
Das sind Ø, sowie { pk } für 1 ≤ k ≤ n.
Die Formel für die Anzahl der Schlüssel lautet damit 2^n - 1 - n.
Für n = 141 erhalten wir also
2^141 ? 141 ? 1 = 2787593149816327892691964784081045188247410
Schlüssen insgesamt.
Anzahl aller Schlüssel, die eine Person kennt
O.B.d.A. zählen wir nur die Schlüssen für p1.
p1 braucht einen Schlüssel für jedes Gruppe von mindestens einer Person,
die nicht p1 ist.
Das sind genau die folgenden Teilmengen:
Power(X \ { p1 }) \ { Ø }
Was uns 2^(n-1) - 1 Teilmengen bzw. Schlüssel gibt.
Für n = 141 erhalten wir
2^(141 - 1) - 1 = 1393796574908163946345982392040522594123775
Schlüssel.