46 lines
1.3 KiB
Markdown
46 lines
1.3 KiB
Markdown
# AES - Schlüsselaustausch II
|
|
|
|
Es sollen für eine Gruppe von `n` Personen
|
|
und für jede relevante Teilmenge dieser ein symmetrischer Schlüssel erstellt werden.
|
|
Wir sollen wissen, wie viele Schlüssel wir brauchen.
|
|
|
|
## Lösung
|
|
|
|
### Anzahl aller Schlüssel
|
|
|
|
Sei `n > 1` die Anzahl der Personen.
|
|
Es gibt also die folgenden Personen:
|
|
```
|
|
X := { p1, ..., pn }
|
|
```
|
|
Für jede Teilmenge von `X` mit mindestens zwei Personen braucht es einen eigenen Schlüssel.
|
|
```
|
|
A ⊆ Power(X) --> kA
|
|
```
|
|
Es gibt `2^n` Elemente in der Potenzmenge von `X`,
|
|
von denen wir noch die zu kleine Mengen abziehen müssen.
|
|
Das sind `Ø`, sowie `{ pk }` für `1 ≤ k ≤ n`.
|
|
Die Formel für die Anzahl der Schlüssel lautet damit `2^n - 1 - n`.
|
|
Für `n = 141` erhalten wir also
|
|
```
|
|
2^141 ? 141 ? 1 = 2787593149816327892691964784081045188247410
|
|
```
|
|
Schlüssen insgesamt.
|
|
|
|
|
|
### Anzahl aller Schlüssel, die eine Person kennt
|
|
|
|
O.B.d.A. zählen wir nur die Schlüssen für `p1`.
|
|
`p1` braucht einen Schlüssel für jedes Gruppe von mindestens einer Person,
|
|
die nicht `p1` ist.
|
|
Das sind genau die folgenden Teilmengen:
|
|
```
|
|
Power(X \ { p1 }) \ { Ø }
|
|
```
|
|
Was uns `2^(n-1) - 1` Teilmengen bzw. Schlüssel gibt.
|
|
Für `n = 141` erhalten wir
|
|
```
|
|
2^(141 - 1) - 1 = 1393796574908163946345982392040522594123775
|
|
```
|
|
Schlüssel.
|